Vnitřní energie, práce a teplo

podle zákona zachování energie E_k + E_p = konst.

Vnitřní energie tělesa

• značíme U
• souvisí s částicovou strukturou tělesa: je to součet celkové kinetické energie neuspořádaně se pohybujících částic tělesa a celkové potenciální energie vzájemné polohy těchto částic
• obecně není konstantní veličinou:
• může se měnit konáním práce (tření těles, stlačování plynu)
• může se měnit tepelnou výměnou (ohřívání vody aj.)

Změna vnitřní energie tělesa při konání práce

• např.: na váleček je namotaný provaz >> táhneme n-krát za provaz po dráze s >> mění se vnitřní energie provazu a válečku >> ∆U = W = nFs
• nebo stlačováním plynu, rozpínání plynu, míchání kapaliny …
• např.:zahřívání povrchu křídel raketoplánu
• ∆U lze využít i ke konání mechanické práce – tepelné motory
• >> vnitřní energii tělesa lze měnit dějem, který nazýváme konání práce

zobecněný zákon zachování energie

• při dějích probíhajících v izolované soustavě těles zůstává součet kinetické, potenciální a vnitřní energie těles konstantní

Změna vnitřní energie tělesa při tepelné výměně. Teplo

• změna vnitřní energie, když se práce nekoná: tepelná výměna

tepelná výměna

• děj, při němž neuspořádaně se pohybující částice teplejšího tělesa narážejí na částice dotýkajícího se studenějšího tělesa a předávají mu část své energie
• teplejší těleso odevzdá studenějšímu teplo

teplo

• Q – je určeno energií, kterou při tepelné výměně odevzdá teplejší těleso studenějšímu
• [Q] = J
• dřívější názory: fluidum přecházející mezi tělesy

Měrná tepelná kapacita

C = Q/∆t     c = C/m = Q/m∆t    Q = cm∆t

tepelná kapacita tělesa

• jednotka J.K^-1

měrná tepelná kapacita

• jednotka J.kg^-1.K^-1, při různých teplotách se mění, v tabulkách je c₂₀
• >> teplo, které přijme chemicky stejnorodé těleso, je přímo úměrné hmotnosti tělesa a přírůstku teploty

Kalorimetrická rovnice

Q₁ = Q₂ c₁m₁(t₁ – t) = c₂m₂(t – t₂ )     c₁m₁(t₁ – t) = c₂m₂(t – t₂ ) + C_k(t – t₂ )

• při styku dvou těles různé teploty probíhá tepelná výměna až do ustavení rovnováhy
• >> úbytek vnitřní energie jednoho tělesa = přírůstek vnitřní energie druhého tělesa

kalorimetr

• zařízení k experimentálnímu měření měrné tepelné kapacity
• směšovací kalorimetr – tepelně izolovaná nádoba s míchačkou a teploměrem
• když vložíme do něj těleso, proběhne tepelná výměna mezi ním, kapalinou  kalorimetru a kalorimetrem: c₁m₁(t₁ – t) = c₂m₂(t – t₂ ) + C_k(t – t₂ )
• C_k…..tepelná kapacita kalorimetru

První termodynamický zákon

∆U = W + Q ∆U = Q – W´

• přírůstek vnitřní energie soustavy ∆U se rovná součtu práce W vykonané okolními tělesy působícími na soustavu silami a tepla Q odevzdaného okolními tělesy soustavě
• ∆U = W + Q

adiabatický děj

• děj, při němž se mění vnitřní energie soustavy jen konáním práce (Q = 0)
• ∆U = W

děje se jen tepelná výměna

• vnitřní energie soustavy se mění jen tepelnou výměnou (W=0)
• ∆U =Q

W………………………………….. práce vykonaná okolními tělesy působících silou na soustavu

W´…………………………………. práce vykonaná soustavou (stejně velká jako W, opačného směru)

>> ∆U = Q – W´ >> Q = ∆U + W´

Přenos vnitřní energie

tepelná výměna vedením

• např.: zahříváme tyč, postupně se ohřejí i neohřívané části
• uvnitř zahřívaného tělesa dochází k tepelné výměně, energie přechází z míst o vyšší teplotě do míst o nižší teplotě
• částice více rozkmitané (zahřívané) předají sousedním částicím část své energie – např. v kovech volné elektrony
• různé látky mají různou tepelnou vodivost – voda a plyny špatné

součinitel tepelné vodivosti

• λ – charakterizuje nestejnou tepelnou vodivost látek
• [λ] = W.m^-1.K^-1
• Q = τ.λSΔt/d
• plochou S projde za dobu τ teplo přímo úměrné součiniteli tepelné vodivosti λ a změně teploty plochy Δt, nepřímo úměrné tloušťce plochy d

tepelná výměna zářením

• uskutečňuje se vysíláním a pohlcováním elektromagnetického záření – jde o tepelné záření
• toto záření je podmíněno tepelným pohybem částic tělesa
• vnitřní energie vysílajícího tělesa se zmenší o vyslanou energii
• při dopadu na těleso se část energie odrazí, část projde a část pohltí
• např. infrazářiče, Slunce

tepelná výměna prouděním

• např. při zahřívání kapaliny/plynu v tíhovém poli
• chladnější kapalina/plyn mají větší hustotu, proto klesají dolů, vytlačují teplejší kapalinu/plyn vzhůru
• přitom se přenáší vnitřní energie z teplejších míst do chladnějších
• pro rychlejší přenos se používá nuceného proudění, vyvolaného vnější silou

Struktura a vlastnosti  plynného skupenství látek

Ideální plyn

platí o něm 3 předpoklady:

1. rozměry molekul ideálního plynu jsou ve srovnání se střední vzdáleností molekul od sebe zanedbatelně malé
2. molekuly ideálního plynu mimo vzájemné srážky na sebe navzájem silově nepůsobí
3. vzájemné srážky molekul ideálního plynu a srážky těchto molekul se stěnou nádoby jsou dokonale pružné

• doba trvání srážek molekul je malá >> v libovolném okamžiku se pohybují rovnoměrným přímočarým pohybem
• molekuly na nepůsobí silami >> E_p = 0, U = E_k pohybujících se molekul
• za normálních podmínek lze skutečné plyny považovat za ideální

normální podmínky

• t_n = 0 °C, p_n = 10⁵ Pa

Rozdělení molekul plynu podle rychlosti

v = dω/φ

Lammertův pokus

• viz obr. str. 69 – ve vakuu jsou dva kotouče s radiálními štěrbinami, od sebe ve vzdálenosti d, otáčející se úhlovou rychlostí ω, první štěrbina je oproti druhé pootočena o úhel φ
• z pece se rtuťovými parami je vysílán molekulový paprsek (molekuly v něm mají různou rychlost)
• d = vτ, ω = φ/τ >> v = d/v = d/(φ/ω) = dω/φ – rychlost molekul, které prošly oběma štěrbinami
• změnou ω a φ lze provést selekci molekul pohybujících se o určité rychlosti – jejich počet určíme z hmotnosti náletu, který vytvoří na stínítku >> určíme rozdělení molekul podle rychlostí – viz. tab. str. 70
• tabulku můžeme znázornit v histogramu – viz. str. 71: na ose x naneseme Δv, na ose y veličinu f = (1/Δv)( ΔN/N)  vyjadřující relativní četnost molekul v úseku Δv
• při snižování Δv vznikne graf rozdělení molekul podle rychlostí
• při různých teplotách: viz graf str. 72 >> při vyšší teplotě je relativní četnost molekul pohybujících se vyššími rychlostmi vyšší – dále >> při každé teplotě jsou v plynu molekuly velmi velkých rychlostí, jejich počet je však relativně malý

Střední kvadratická rychlost

v_k² = (N₁ v₁² + N₂ v₂² + … + N_i v_i²)/N

• okamžitá rychlost molekuly se neustále mění, byla zavedena střední kvadratická rychlost

střední kvadratická rychlost

• taková rychlost, jakou by měly molekuly plynu o hmotnosti m₀, pokud by se všechny pohybovaly stejnou rychlostí, za předpokladu že jejich úhrnná kinetická energie E_k se nemění od skutečné
• necharakterizuje jednotlivé molekuly, ale soubor N molekul – statistická veličina
• odvození: v nádobě je plyn hmotnosti m₀ z N molekul, z toho N₁ molekul se pohybuje rychlostí v₁, N₂ molekul rychlostí v₂, atd.
• E_k = ½ m₀(N₁ v₁² + N₂ v₂² + … + N_i v_i²) >>
• N ½ m₀v_k² = ½ m₀(N₁ v₁² + N₂ v₂² + … + N_i v_i²) >>
• v_k² = (N₁ v₁² + N₂ v₂² + … + N_i v_i²)/N
• druhá mocnina střední kvadratické rychlosti je rovna součtu druhých mocnin rychlostí všech molekul děleným počtem molekul

Teplota plynu z hlediska molekulové fyziky

½ m₀v_k² = 3/2 kT ½ m₀₁v_k1² = ½ m₀₂v_k2² k = 1,38.10^-23 J.K^-1

• z teoretických úvah vyplývá: E₀ = ½ m₀v_k² = 3/2 kT >> v_k = √(3kT/m₀)
• m₀ – hmotnost molekuly, k – Boltzmannova konstanta
• v_k některých plynů při různých teplotách uvedeny v tabulkách

Boltzmannova konstanta

• k = 1,38.10^-23 J.K^-1
• >> pro dva různé plyny o stejné teplotě T platí: 3/2 kT = 3/2 kT >> ½ m₀₁v_k1² = ½ m₀₂v_k2²
• >> dva ideální plyny téže teploty mají stejnou E_k >> čím větší hmotnost mají molekuly prvního, tím větší mají rychlost druhého atd.

Tlak plynu z hlediska molekulové fyziky

p = 1/3 N_vm₀v_k² N_v = N/V

fluktuace tlaku

• počet i rychlost molekul plynu dopadajících na stěnu nádoby se neustále mění >> tlak plynu kolísá s časem τ kolem střední hodnoty p_s

základní rovnice pro tlak plynu

• p = 1/3 N_vm₀v_k²
• tlak plynu je přímo úměrný hustotě molekul N_v, hmotnosti molekuly m₀ a druhé mocnině střední kvadratické rychlosti v_k
• N_v….hustota molekul, N_v = N/V N…počet molekul V...objem
• odvození: předpokládejme, že plyn je v krychlové nádobě, všechny molekuly se pohybují stejnou rychlostí v ve všech směrech – 1/3 rovnoběžně s x, 1/3 rovnoběžně s y, 1/3 rovnoběžně se z (viz obr. str. 76)
• na pravé straně nádoby zvolíme plochu obsahu S – za dobu τ na ni dopadnou všechny molekuly směřující v kladném směru osy x a ležící v prostoru o objemu vτS
• v prostoru o objemu vτS je NvτS molekul, z toho v kladném směru osy x se jich pohybuje N´ = NvτS/6 molekul
• každá molekula při pružném odrazu od plochy S mění svou hybnost: z p₁ = m₀v na hybnost p₂ = – p₁ >> změna hybnosti jedné molekuly po jejím odrazu od stěny je p₂ – p₁ = -2p₁
• >> velikost změny hybnosti je │-2p₁│ = │-2m₀v│ = 2m₀v
• >> velikost celkové změny hybnosti všech molekul, které se za dobu τ odrazí od plochy o obsahu S, je │Δp│ = N´.2m₀v = 2m₀vNvτS/6 = m₀v²N_vτS/3
• při velkém počtu dopadajících molekul se jejich nárazy jeví jako působení síly F po dobu τ
• >> F = │Δp│/ τ = m₀ v²N_vτS/3τ = m₀v²N_vS/3 >> p = F/S = m₀v²N_vS/3S = m₀v²N_v/3 >> p = 1/3 N_vm₀v_k²

Stavová rovnice pro ideální plyn

pV = NkT     pV = nRT     pV = RT.m/M_m R = 8,31 J.K^-1.mol^-1

• plyn, který je v rovnovážném stavu, lze charakterizovat stavovými veličinami:
• termodynamickou teplotou T, tlakem p, objemem V a počtem molekul N, (popř. látkovým množstvím n a hmotností m)

stavová rovnice

• rovnice vyjadřující vztah mezi těmito veličinami
• do p = 1/3 Nm₀v_k²/V dosadíme v_k = √(3kT/m₀) >> p = 1/3 Nm₀3kT/m₀V = NkT/V >>
• pV = NkT
• n = N/N_A >> N = nN_A >> pV = nN_A kT

molární plynová konstanta

• R = N_A k = 8,31 J.K^-1.mol^-1
• >> pV = nR
• M_m = m/n >> n = m/M_m >> pV = RT.m/M_m
• ideální plyn lze definovat jako plyn, pro který platí přesně stavová rovnice ve tvarech pod nadpisem

Stavová rovnice ideálního plynu stálé hmotnosti

p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ pV/T = konst.

• při stavové změně ideálního plynu stálé hmotnosti je výraz pV/T konstantní:
• p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ >> pV/T = konst.
• ověření: p₁V₁ = RT₁m/M_m p₂V₂ = RT₂m/M_m >>  p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂

Izotermický děj s ideálním plynem

p₁V₁ = p₂V₂ pV = konst.

izotermický děj

• děj, při kterém je teplota plynu stálá
• p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ >> T₁ = T₂ >> p₁V₁ = p₂V₂ pV = konst.

Boylův-Mariottův zákon

• při izotermickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu nepřímo úměrný jeho objemu

izoterma

• graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho objemu
• p závisí na V: izoterma je větev hyperboly – viz obr. str. 84

Izochorický děj s ideálním plynem

p₁/T₁ = p₂/T₂ p/T = konst.

izochorický děj

• děj, při kterém je objem plynu stálý
• p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ >> V₁ = V₂ >>  p₁/T₁ = p₂/T₂ p/T = konst.

Charlesův zákon

• při izochorickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě

izochora

• p závisí na V- izoterma je úsečka rovnoběžná s osou p (místo y)

Izobarický děj s ideálním plynem

V₁/T₁ = V₂/T₂ V/T = konst.

izobarický děj

• děj, při kterém je tlak plynu stálý
• p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ >> p₁ = p₂ >>  V₁/T₁ = V₂/T₂ V/T = konst.

Gay-Lussacův zákon

• při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě

izobara

• p závisí na V- izoterma je úsečka rovnoběžná s osou V (místo x)

Stavové změny ideálního plynu z energetického hlediska

Q = W´ Q = c_vmΔT    Q_v = ΔU    Q = c_pmΔT     Q_p = ΔU + W´

• vnitřní energie plynu se může měnit konáním práce nebo tepelnou výměnou podle prvního termodynamického zákona: Q = U + W´

izotermický děj

• teplota je stálá >> vnitřní kinetická energie je konstantní – ΔU = 0 >> Q = W´
• teplo přijaté ideálním plynem při izotermickém ději se rovná práci, kterou plyn při tomto ději vykoná

izochorický děj

• při zvýšení teploty plynu stálého objemu o ΔT přijme plyn teplo Q = c_vmΔT
• c_v……měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu
• objem plynu je při izochorickém ději stálý >> práci nekoná >> Q_v = ΔU
• teplo přijaté ideálním plynem při izochorickém ději se rovná přírůstku jeho vnitřní energie

izobarický děj

• při zvýšení teploty plynu stálého tlaku o ΔT přijme plyn teplo Q = c_pmΔT
• c_v……měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku
• Q_p = ΔU + W´
• teplo přijaté ideálním plynem při izobarickém ději se rovná součtu přírůstků jeho vnitřní energie ΔU a práce W´, kterou plyn vykoná

Adiabatický děj s ideálním plynem

pV^κ = konst.     κ = c_p/c_v

• při adiabatickém ději neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a okolím: ΔU = W
• při adiabatickém stlačování koná vnější síla práci >> vnitřní energie plynu a jeho teplota se zvětšuje
• při adiabatickém rozpínání plynu koná plyn práci >> jeho vnitřní energie a teplota se zmenšuje
• >> při zmenšování objemu plyn posuvným pohybem pístu se molekuly plyn odrážejí od posouvajícího se pístu větší rychlostí, než v klidu >> zvětšuje se E_k každé molekuly >> zvětšuje se U plynu a jeho teplota
• >> při adiabatickém rozpínání je píst plynem vytlačován a molekuly se od něho odrážejí menší rychlostí >> klesá jejich E_k >> zmenšuje se vnitřní energie a teplota plynu

Poissonův zákon

• pV^κ = konst.
• platí pro adiabatický děj s ideálním plynem
• κ = c_p/c_v (viz výše) κ……..Poissonova konstanta
• pro plyn s jednoatomovými molekulami: κ = 5/3
• pro plyn s dvouatomovými molekulami: κ = 7/5

adiabata

• viz graf str. 94 – křivka  vyjadřující závislost p plynu na V při adiabatickém ději
• skoro jak izoterma (tj. větev hyperboly), ale strmější

Plyn při nízkém a vysokém tlaku

Nízký tlak

• odčerpáme-li z nádoby při stálé teplotě plyn, zmenšuje se hustota molekul plynu v nádobě N_v a klesá tlak plynu
• zmenšení hustoty molekul plynu má vliv na volnou dráhu molekul l

volná dráha molekul

• l – délka přímočarého úseku dráhy molekuly, kterou urazí mezi srážkami s jinými molekuly

střední volná dráha molekul

• λ – aritmetický průměr všech volných drah molekul daného plynu
• při zmenšování tlaku plynu v nádobě se zvětšuje v nepřímé závislosti na tlaku

střední srážková frekvence

• z – udává počet srážek jedné molekuly s jinými za jednotku času
• při snižování tlaku klesá

vývěvy

• zařízení určená ke snižování tlaku plynu v uzavřené nádobě, např.:

rotační olejová vývěva

• skládá se ze statoru a rotoru
• otáčením rotoru vstupuje plyn do vývěvy vstupním otvorem, výstupním otvorem je z vývěvy vytlačován – v pracovní komoře je malé množství oleje zmenšující tření a zlepšující utěsnění
• lze dosáhnout tlaku do 1 Pa

využití nízkého tlaku

• výroba obrazovek, žárovek, výbojek apod.
• urychlovače částic, elektronové mikroskopy
• vakuové balení potravin, tavení kovů při nízkých tlacích, chemický a farmaceutický průmysl

Vysoký tlak

• při stlačování plynu o stálé teplotě roste jeho tlak, zvětšuje se hustota molekul N_v, zmenšuje se λ >> přitažlivé síly mezi molekulami již nelze zanedbat >> plyn se mění v kapalinu