Mechanika tuhého tělesa

tuhé těleso

• ideální těleso, jehož tvar ani objem se účinkem libovolně velkých sil nemění

Pohyb tuhého tělesa

• každý pohyb tuhého tělesa si můžeme představit jako složený z posuvného a otáčivého pohybu

posuvný pohyb = translace

• každá přímka spojená s tělesem je při něm stále rovnoběžná se svou původní polohou
• všechny body tělesa opisují stejné trajektorie a mají v daném okamžiku stejnou rychlost

otáčivý pohyb = rotace

• všechny body tělesa mají v daném okamžiku stejnou úhlovou rychlost – dále bude uvažováno otáčení tělesa kolem tuhé osy

složený pohyb

• těleso koná současně posuvný i otáčivý pohyb

Moment síly vzhledem k ose otáčení

• M = Fd

otáčivý účinek síly

• závisí na velikosti síly, jejím směru a poloze působiště – je vyjádřen momentem síly vzhledem k ose otáčení

moment síly

• M = Fd [M] = N.m newtonmetr kde d je rameno otáčení
• jeho směr je kolmý ke směru síly a ramene otáčení

pravidlo pravé ruky

• slouží nám k určení směru momentu síly
• položíme-li pravou ruku tak, aby prsty ukazovaly směr otáčení tělesa, palec ukazuje směr momentu síly

výsledný moment sil

• M – určuje celkový otáčivý účinek více sil
• výsledný moment sil M je vektorový součet momentů jednotlivých sil vzhledem k dané ose, tedy
  M = M₁ + M₂ +…+ M_n

momentová věta

• otáčivé účinky sil působících na tuhé těleso otáčivé kolem nehybné osy se navzájem ruší, je-li vektorový součet momentů všech sil vzhledem k ose otáčení nulový
• M = M₁ + M₂ +…+ M_n = 0

Skládání sil

F = F₁ + F₂ F = | F₁ – F₂ |    F₁ d₁ = F₂ d₂ M₁ + M₂ = 0

výslednice sil

• vznikne skládáním sil – nahrazení více sil jednou – velikost určíme pomocí vektorového rovnoběžníku
• aby měla výslednice sil stejné otáčivé účinky jako jednotlivé síly, musí se moment výslednice vzhledem k libovolné ose rovnat součtu momentů skládaných sil:
• M = M₁ + M₂ +…+ M_n

skládání rovnoběžných sil stejného směru

• F = F₁ + F₂ , M₁ = M₂ >> F₁ d₁ = F₂ d₂

skládání rovnoběžných sil opačného směru

• F = | F₁ – F₂ |, M₁ = M₂ >> F₁ d₁ = F₂ d₂
• pro oba případy platí: M₁ + M₂ = 0

graficky

• viz obr. str. 154 – v působišti jedné síly sestrojíme pomocný vektor o stejné velikosti, ale opačném směru než má síla druhá a totéž provedeme i v působišti druhé síly, ale ve směru totožném se směrem první síly
• spojnice koncových bodů protíná spojnici působišť v bodě O, který je působištěm výslednice

Dvojice sil

D = Fd

dvojice sil

• dvě stejně velké síly opačného směru, F a F´
• otáčivý účinek sil je vyjádřen momentem D dvojice sil
• tyto síly nelze nahradit výslednicí

rameno dvojice sil

• d – vzdálenost vektorových přímek sil
• odvození: viz obr. str. 158 – D = M + M´ >> D = M + M´= F´(x+d) – Fx = F´d = Fd

moment dvojice sil

• D – kolmý k rovině, v níž leží síly, směr určíme pomocí pravidla pravé ruky
• např. otáčení volantu

Rozkládání sil

• nahražení síly dvěma nebo více silami, jejichž účinek na těleso je stejný jako při působení jedné síly
• F₁ + F₂ = F, F₁ d₁ = F₂ d₂

Těžiště tuhého tělesa

• působiště tíhové síly působící na těleso v homogenním tíhovém poli
• poloha dána rozložením látky v tělese
• u souměrných těles: ve středu souměrnosti, na ose souměrnosti, v rovině souměrnosti
• u nesouměrných experimentálně nebo výpočtem, viz př. str. 164

Rovnovážná poloha tuhého tělesa

rovnovážná poloha

• těleso je v ní, jestliže je vektorový součet všech sil, které na ně působí, i vektorový součet všech momentů těchto sil rovný nule
• silová rovnováha: F = F₁ + F₂ + … + F_n = 0
• momentová rovnováha: M = M₁ + M₂ + … + M_n = 0

stálá (stabilní) rovnovážná poloha

• má ji těleso, které se po vychýlení vrací zpět do rovnovážné polohy
• kulička v nejnižším bodě kulové misky, těleso otáčivé kolem vodorovné osy jdoucí nad těžištěm

vratká (labilní) rovnovážná poloha

• má ji těleso, u kterého se po vychýlení výchylka zvětšuje a zpět do rovnovážné polohy se už nevrátí
• kulička v nejvyšším bodě obrácené kulové misky, těleso otáčivé kolem vodorovné osy jdoucí pod těžištěm

volná (indeferentní) rovnovážná poloha

• má ji těleso, které po vychýlení zůstává v nové poloze, výchylka se nezvětšuje ani nezmenšuje
• kulička na vodorovné podložce, těleso otáčivé kolem vodorovné osy jdoucí těžištěm

těleso podepřené na ploše

• je v rovnovážné poloze, pokud svislá těžnice prochází podstavou tělesa
• záleží na stabilitě tělesa

stabilita tělesa

• určena prací, kterou musíme vykonat, abychom těleso přemístili ze stálé rovnovážné polohy do polohy vratké
• W = mg(h₂ – h₁)

Kinetická energie tuhého tělesa

E_k = ½ mv² E_k = ½ Jω² J = m₁r₁² + m₂r₂² + … + m_nr_n² E_k = ½ mv² + ½ Jω²

při posuvném pohybu

• všechny body mají stejnou rychlost v
• E_k = ½ m₁v² + ½ m₂v² + … + ½ m_nv²
• m = m₁ + m₂ + … + m_n >> E_k = ½ mv²

při otáčivém pohybu

• E_k = ½ m₁v² >> v = ωr >>
• E_k = ½ m₁ω²r₁² + ½ m₂ω²r₁² + … + ½ m_nω²r_n²
• E_k = ½ ω²(m₁r₁² + m₂r₂² + … + m_nr_n²)

moment setrvačnosti

• [J ] = kg.m² – vyjadřuje rozložení látky vzhledem k ose otáčení
• J = m₁r₁² + m₂r₂² + … + m_nr_n² >> E_k = ½ Jω²
• u těles, ve kterých je látka rozložena stejnoměrně: J₀ = mR²
• u stejnorodého válce: J₀ = ½ mR²
• u stejnorodé koule: J₀ = 2/5 mR²
• u stejnorodé tyče: J₀ = 1/12 ml²

setrvačník

• těleso otáčivé kolem osy souměrnosti, vzhledem k níž má velký moment setrvačnosti
• jeho osa zachovává svůj směr vzhledem k inerciální vztažné soustavě
• roztočený má velkou kinetickou energii
• využití: vyrovnávání náhlých zrychlení/zpomalení strojů, stabilizace lodí, pohon hraček
• těleso konající zároveň posuvný i otáčivý pohyb kolem osy procházející těžištěm tělesa má kinetickou energii
• E_k = ½ mv² + ½ Jω²