Mechanika kapalin a plynů

• podmínky rovnováhy studuje hydrostatika a aerostatika, zákonitostmi pohybu se zabývá hydrodynamika a aerodynamika

Vlastnosti kapalin a plynů

tekutost

• základní vlastnost kapalin a plynů
• její příčinou je snadná vzájemná pohyblivost částic, ze kterých se tyto skládají
• v jejím důsledku nemají plynná a kapalná tělesa stálý tvar
• >> kapaliny a plyny = tekutiny, mechanika tekutin

kapalná tělesa

• mají stálý objem
• odpudivé síly mezi molekulami zabraňují jejich vzájemnému přiblížení >> velmi malá stlačitelnost kapalin

plynná tělesa

• vzhledem k malým silám působícím mezi molekulami mají nestálý tvar a objem
• velmi snadno stlačitelné

různá tekutost

• vzájemná pohyblivost částic je u plynů větší než u kapalin, ale i jednotlivé kapaliny se navzájem liší, např. voda je tekutější než olej
• její příčinou je vnitřní tření, projevující se vznikem odporových sil působících proti směru vzájemného pohybu částic

ideální kapalina

• dokonale tekutá, bez vnitřního tření, nestlačitelná

ideální plyn

• dokonale tekutý, bez vnitřního tření, dokonale stlačitelný
• ideální kapalinu/plyn považujeme dále za kontinuum, tj. za spojité prostředí, k jejich částicové stavbě nepřihlížíme

Tlak v kapalinách a plynech

p = F/S

tlak

• p = F/S [p] = N.m^-2 = Pa > jednotka pascal
• charakterizuje stav kapaliny v klidu
• k měření: manometry – kapalinové, pružinové

Tlak v kapalinách vyvolaný vnější silou

F₁/S₁ = F₂ /S₂

Pascalův zákon

• tlak vyvolaný vnější silou, která působí na kapalné těleso v uzavřené nádobě, je ve všech místech kapaliny stejný
• platí pro plyny i kapaliny
• v praxi: hydraulické zařízení

hydraulické zařízení

• dvě válcové nádoby nestejného průřezu, u dna spojené trubicí
• p₁ = p₂ =F₁/S₁ = F₂ /S₂ >> F₁/S₁ = F₂/S₂

- velikosti sil působících na písty jsou ve stejném poměru jako obsahy jejich průřezů

Tlak v kapalinách vyvolaný tíhovou silou

F_h = ρS_hg p_h = ρhg

hydrostatická tlaková síla

• F_h – je výsledkem působení tíhové síly na částice kapaliny
• F_h = mg = ρVg = ρShg
• >> závisí na hloubce kapaliny, obsahu dna a na hloubce pod volným povrchem kapaliny

hydrostatické paradoxon

• hydrostatická tlaková síla nezávisí na celkovém objemu kapaliny, průřezu a tvaru nádoby
• ve všech nádobách stejné výšky h a obsahu dna S působí na dno stejně velká tlaková síla F_h

hydrostatický tlak

• p_h – tlak v kapalině vyvolaný hydrostatickou silou
• p_h = F_h/S = ρShg/S = ρhg
• >> je přímo úměrný hustotě kapaliny a hloubce místa pod volným povrchem kapaliny

hladiny

• místa o stejném hydrostatickém tlaku
• nulová hladina – hladina o nulovém hydrostatickém tlaku

spojené nádoby

• naplníme-li je všechny kapalinou stejné hustoty, je volná hladina ve všech ve stejné výšce
• když je naplníme kapalinami o různé hustotě:
• p_h1 = p_h2 = ρ₁h₁g = ρ₂h₂g >> ρ₁h₁ = ρ₂h₂ >> ρ₁/ρ₂ = h₂/ h₁
• hustoty kapalin jsou v převráceném poměru k výškám kapalin nad společným rozhraním

Tlak vzduchu vyvolaný tíhovou silou

p_a = 105 Pa

atmosféra

• vrstva vzduchu obklopující Zemi
• výsledkem jejího působení je atmosférická tlaková síla

atmosférická tlaková síla

• F_a – působí na všechna pozemská tělesa a povrch Země
• např.: na sklenici s vodou přiložíme papír, pak obrátíme – působením F_a papír stále drží

atmosférický tlak

• p_a – tlak vyvolaný atmosférickou tlakovou silou
• s nadmořskou výškou se zmenšuje, za 100 m o 1,3 kPa

Torriceliho pokus

• základ měření velikosti p_h
• viz obr. str. 186
• do tlustostěnné skleněné trubice o délce cca 1 m na jednom konci zatavené nalijeme rtuť, otvor uzavřeme, obrátíme ji a ponoříme do nádoby se rtutí
• rtuť v trubici klesne a je v ní sloupec výšky cca 75 cm, nad ním vakuum
• tento sloupec udržuje v této výšce pa působící na volný povrch rtuti v nádobce
• p_h = p_a = ρhg >> p_a = 105 Pa = 1000 hPa
• hodnota atmosférického tlaku se rovná hodnotě hydrostatického tlaku rtuťového sloupce v Torriceliho trubici

normální atmosférický tlak

• p_n = 1 013,25 hPa – pro meteorologické účely
• k měření: tlakoměry/barometry – rtuťový: viz Torriceliho pokus, kovový/toroid, pro plynulý záznam barograf
• jiné jednotky: milibar a torr – 1 mb = 1 hPa 760 torr = 1 013,25 hPa

Vztlaková síla v kapalinách a plynech

F_vz = ρVg V´/V =ρ_t/ρ

vztlaková síla F_vz

• síla, nadlehčující tělesa ponořená do kapaliny; má opačný směr než F_G
• vzniká jako výslednice sil působících na povrch tělesa v kapalině v klidu
• na těleso o velikosti h působí F_vz, která je výslednicí sil F₁ a F₂ >>
• F_vz = F₂ – F₁ = ρSh₂g – ρSh₁g = ρSg(h₂ – h₁) >> h₂ – h₁ = h >> Sh = V >>
• F_vz = ρVg
• >> velikost vztlakové síly je přímo úměrná hustotě ρ a objemu V ponořeného tělesa
• ρVg = mg >> velikost vztlakové síly je rovna tíze G kapaliny o objemu ponořeného tělesa

Archimedův zákon

• těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, jejíž velikost je rovna tíze kapaliny stejného objemu, jako je objem ponořeného tělesa
• jeho důsledkem je různé chování těles v kapalině:
• na těleso působí tíhová síla F_G = ρtVg a vztlaková síla F_vz = ρVg

jednotlivé případy:

• ρ_t > ρ – těleso klesá ke dnu
• ρ_t = ρ – těleso se volně vznáší v kapalině
• ρ_t < ρ – těleso stoupá k volné hladině kapaliny, částečně se vynoří a ustálí v poloze, kdy F_G je v rovnováze s F´_vz, jejíž velikost je rovna tíze kapaliny stejného objemu, jako je objem ponořené části tělesa
• těleso plove
• F_G = F_vz = Vρtg = V´ρg >> V´/V =ρt/ρ
• >> těleso se ponoří do kapaliny tím větší částí svého objemu, čím je jeho hustota větší nebo čím je hustota kapaliny menší
• na tomto principu založeny hustoměry
• nadlehčována jsou i tělesa ve vzduchu, vzhledem k jeho malé hustotě je však tato vztlaková síla mnohem menší než v kapalinách – na působení této vztlakové síly založeno vznášení těles ve vzduchu – balony, vzducholodě

Proudění kapalin a plynů

Q_v = V/t = Sv       Sv = konst.          v₁/v₂ = S₂/S₁

proudění

• nastává, když v kapalině/plynu převažuje pohyb částic v jednom směru
• v proudící tekutině má každá částice určitou rychlost v, jejíž velikost a směr se může měnit v závislosti na čase

stacionární (ustálené) vlnění

• nastává, když je rychlost částic v procházejících libovolným bodem kapaliny stálá
• trajektorie jednotlivých částic znázorňujeme proudnicemi

proudnice

• myšlená čára, jejíž tečna v libovolném bodě má směr rychlosti v pohybující se částice

ustálené proudění ideální kapaliny

• nejjednodušší případ proudění
• každým průřezem trubice při něm protéká stejný objem kapaliny

objemový průtok

• Q_v – udává, jaký objem kapaliny proteče průřezem trubice za dobu t
• Q_v = V/t = S.s/t  s =v/t  Q_v = Sv
• [Q_v] = m³.s^-1
• měří se plynoměrem, vodoměrem
• Q_v je u ideální kapaliny v každém místě trubice stejný >>
• Q_v = konst. >> Sv = konst. – viz dále

rovnice kontinuity (spojitosti toku)

• při ustáleném proudění ideální kapaliny je součin obsahu průřezu S a rychlosti proudu v v každém místě trubice stejný
• Sv = konst.
• S₁v₁ = S₂v₂ >> v₁/v₂ = S₂/S₁
• >> rychlosti proudící kapaliny v trubici jsou v opačném poměru než obsahy průřezů – v užším průřezu proudí kapaliny rychleji než v širším

Bernoulliho rovnice

½ ρv² + p = konst.      v = √(2gh)

• sleduje proudění kapaliny z hlediska mechanické energie
• podle zákona zachování mechanické energie ΔE_p = ΔE_k

tlaková potenciální energie

• změna energie související s tlakem proudící kapaliny
• W = Fl >> F = pS >> W = pSl = pV >> E_p = pV

kinetická energie kapaliny

• E_k = ½ mv² = ½ ρVv²

odvození Bernoulliho rovnice

• E_k + E_p = konst. >> ½ ρVv² + pV = konst. >> vydělit V
• ½ ρv² + p = konst.
• součet kinetické a tlakové potenciální energie kapaliny o jednotkovém objemu je ve všech částech vodorovné trubice stejný
• je to vyjádření zákona zachování mechanické energie pro proudění ideální kapaliny ve vodorovném potrubí
• ½ ρv₁² + p₁ = ½ ρv₂² + p₂ >>v zúžené části potrubí má kapalina větší rychlost (a tedy i větší E_k), ale menší tlak

podtlak

• ve zúžené části trubice může tlak poklesnout až pod hodnotu atmosférického tlaku
• v tomto případě se pak do manometrické trubice nasává vzduch – viz obr. str. 197
• např. vodní vývěva
• vzniká i u proudících plynů – viz obr. – když foukneme mezi dva papíry blízko sebe, přiblíží se

hydrodynamické paradoxon

• historický název pro poznatek, že ve zúžené části trubice, ve které protéká voda, je nižší tlak

aerodynamické paradoxon

• historický název pro poznatek, že ve zúžené části trubice, kterou protéká vzduch, je nižší tlak

určení rychlosti vytékající kapaliny na základě zákona zachování mechanické energie:

• potenciální energie E_p o jednotkovém objemu se mění na kinetickou energii E_k o jednotkovém objemu
• ½ ρv² = p >> p = ρhg >> ½ ρv² = ρhg >> v = √(2gh) výtoková rychlost
• rychlost vytékající kapaliny je větší u otvoru, který je ve větší vzdálenosti od volné hladiny

Proudění reálné kapaliny

síly vnitřního tření

• odporové síly působící při proudění reálné kapaliny a brzdící pohyb částic

mezní vrstva kapaliny

• vrstva kapaliny, která se bezprostředně stýká se stěnami trubice
• tato vrstva se v důsledku tření mezi kapalinou a stěnou trubice pohybuje nejmenší rychlostí nebo je v klidu
• po této vrstvě se posouvá další vrstva malou rychlostí, po této další větší atd. >> největší rychlostí mají částice kapaliny procházející středem trubice

laminární proudění

• při malých rychlostech – vektory rychlostí jsou v daném průřezu rovnoběžné

turbulentní proudění

• při vyšších rychlostech – kapaliny tvoří víry a zobrazení proudnic ztrácí význam
• např. šumění vody

Obtékání těles reálnou tekutinou

F = ½ CρSv²

• dochází k němu při relativním pohybu těles a tekutiny

relativní pohyb pevných těles a tekutiny

• nezáleží na tom, jestli se pohybuje těleso, nebo tekutina

hydrodynamická odporová síla

• v důsledku vnitřního tření vznikající odporová síla působící proti směru relativního pohybu tělesa v kapalině

aerodynamická odporová síla

• v důsledku vnitřního tření vznikající odporová síla působící proti směru relativního pohybu tělesa v plynu

odpor prostředí

• fyzikální jev vzniku odporových sil

při menších rychlostech

• laminární proudění

ve větších rychlostech

• turbulentní proudění – za tělesem vznikají víry, které způsobují zvětšení odporové síly F, pro kterou platí F = ½ CρSv², kde C je součinitel odporu (bezrozměrná veličina), ρ hustota prostředí, S obsah průřezu kolmého ke směru relativní rychlosti v
• součinitel odporu C závisí na tvaru tělesa – nejmenší je pro těleso proudnicového/aerodynamického tvaru – např. křídlo a auta, největší pro dutou polokouli – např. padák

křídlo

• nesouměrný profil způsobuje, že vzduch obtéká horní stěnu rychleji než spodní >> tlak na horní stěnu je menší než na spodní, na celou nosnou plochu působí aerodynamická vztlaková síla F_x, udržující letadlo ve vzduchu a odporová síla F_y, překonávaná tažnou sílou motorů
• jejich výslednicí je aerodynamická vztlaková síla F = F_x + F_y
• při nadzvukových rychlostech je odporová síla úměrná v³ a vzniká rázová vlna