Gravitační pole

• gravitační pole mají všechny hmotné objekty, gravitační působení mezi tělesy je vždy vzájemné

Newtonův gravitační zákon

ϰ = 6,67.10^-11 N.m².kg^–2

• každá dvě tělesa se navzájem přitahují stejně velkými gravitačními silami F_g, -F_g opačného směru
• velikost gravitační síly F_g pro dvě stejnorodá tělesa tvaru koule je přímo úměrná součinu jejich hmotností m₁, m₂ a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti r jejich středů

gravitační konstanta

• ϰ -[kappa]- ϰ = 6,67.10^-11 N.m².kg^–2

Gravitační zrychlení

a_g = ϰ M_Z/r²

• je to zrychlení, které tělesu o hmotnosti m uděluje gravitační síla F_g
• odvození: na povrchu Země působí na těleso síla F_g = k .mM_Z/r² = ma_g >> a_g = k M_Z/r²

centrální gravitační pole

• projevuje se tím, že ve všech místech gravitačního pole Země směřuje F_g a a_g do středu Země
• střed Země je gravitační střed centrálního pole

homogenní gravitační pole

• vzhledem k velikosti Země můžeme centrální gravitační pole Země považovat v prostorech o rozměrech několika set metrů apod. za homogenní – gravitační síla uděluje ve všech místech homogenního gravitačního pole hmotným bodům v něm se nacházejícím stejné gravitační zrychlení a_g

Tíhové zrychlení při povrchu Země

F_G = F_g + F_s

tíhová síla

• protože se Země otáčí, působí na všechna tělesa nacházející se při povrchu Země mimo gravitační síly F_g ještě setrvačná odstředivá síla F_s
• výslednicí těchto sil je tíhová síla F_G >>  F_G = F_g + F_s
• nejmenší je na rovníku: F_G = F_g – F_s
• největší na pólech: F_G = F_g
• v závislosti na ní se mění i tíhové zrychlení g, dohodu stanoveno normální tíhové zrychlení  
  g_n = 9,806 65 m.s^-2
• ve vymezené oblasti jsou odchylky F_G tak malé, že se dá mluvit o homogenním tíhovém poli

Tíhová síla a tíha tělesa

tíhová síla

• F_G – má působiště v těžišti tělesa

tíha

• G – má působiště ve stykové ploše tělesa s podložkou nebo v bodě závěsu
• beztížný stav: G = 0
• tíhová síla a tíha tělesa jsou fyzikálně různé veličiny, které však mají obě původ v tíhovém poli Země

Pohyby těles v homogenním tíhovém poli Země

v = v₀ – gt y = v₀t –   gt² x = v₀t   y = h – gt² x = v₀t cosα y = v₀t sinα – gt²

• jde o pohyby těles, které probíhají v blízkosti Země a jejichž rozměry jsou vzhledem k velikosti Země malé

volný pád

• rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb s nulovou počáteční rychlostí a s konstantním tíhovým zrychlením g

vrh tělesa

• těleso má v₀ ≠ 0; koná rovnoměrný přímočarý pohyb ve směru rychlosti v₀ a volný pád ve směru zrychlení g

svislý vrh vzhůru

• koná těleso vržené v₀ ve směru opačném než g
• pohyb vzhůru: rovnoměrně zpomalený
• v = v₀ – gt y = v₀t –  gt²
• výška vrhu h: je dosažena, když v = 0 >>
• 0 = v₀ – gt >> t_h = v₀/g >> h = v₀²/g –   g(v₀/g)²
• h = v₀²/2g
• doba pádu = doba výstupu:
• h = gt_d² >> t_d = √(2h/g) = √[2(v₀²/2g²)] = v₀/g = t_h
• v_d = gt_d = gt_h = v₀
• >> těleso dopadne stejnou rychlostí, jako bylo vrženo

vodorovný vrh

• koná těleso, jemuž udělíme počáteční rychlost v₀ ve vodorovném směru
• složením rovnoměrně přímočarého pohybu ve směru v₀ a volného pádu vzniká pohyb, jehož trajektorie je částí paraboly
• x = v₀t     y = h – ½ gt²
• délka vrhu d:
• x = d y = 0  >>  0 = h – ½ gt_d² >> t_d = √(2h/g) >> d = v₀t_d = v₀√(2h/g)

šikmý vrh vzhůru

• koná těleso, kterému je udělena počáteční rychlost v₀ a které svírá s vodorovným směrem elevační úhel α
• těleso se pohybuje po parabole, jejímž vrcholem je nejvyšší bod trajektorie – v praxi na ně působí odpor vzduchu, pohybuje se po balistické křivce
• x = v₀t cosα y = v₀t sinα – ½ gt²
• délka vrhu d:
  0 = v₀ t_d sinα – ½ gt_d ² >> t_d = 2v₀ sin α/g >> d = v₀t_d cosα = v₀²sin α/g

Pohyby těles v centrálním gravitačním poli Země

v_k = √[k M_Z/(R_Z + h)]     v_p = √[2k M_Z/(R_Z + h)] = v_k√2

• udělíme-li tělesu v dostatečné vzdálenosti od povrchu Země počáteční velikost v₀ ve směru kolmém k vektoru gravitační síly F_g, opíše toto těleso část elipsy – při větších počátečních velikostech už nespadne, ale opíše celou elipsu

kruhová rychlost

• v_k – při určité velikosti počáteční velikost v₀ těleso neopíše elipsu, ale kružnici
• odvození: F_d = F_g >> m(v_k²/r) = k .mM_Z/(R_Z + h)² >> v_k = √[k M_Z/(R_Z + h)]
• když h << R_Z,  pak v_k = √(k M_Z/R_Z), když dosadíme a_g = k M_Z/ R_Z²
• v_k = √(a_gR_Z)  po dosazení v_k = 7,9 km.s^-1 – první kosmická rychlost
• je-li tělesu udělena rychlost o málo větší než v_k, pohybuje se po elipse, rovina elipsy prochází středem Země, který leží v jednom z ohnisek elipsy

perigeum

• bod, ve kterém má těleso nejmenší vzdálenost od Země

apogeum

• bod, ve kterém má těleso největší vzdálenost od Země

úniková rychlost

• = parabolická; rychlost, při které se změní trajektorie tělesa na parabolu
• v_p = √[2k M_Z/(R_Z + h)] = v_k√2
• po dosazení v_p = 11,2 km.s^–1 druhá kosmická rychlost
• těleso uniká z oblasti gravitačního pole Země, zůstává v gravitačním poli Slunce

Pohyby těles v gravitačním poli Slunce

T₁²/T₂² = a₁³/a₂³ 1 AU = 149,6.10⁶ km

• gravitační zrychlení Slunce cca 28´ větší než Země, tj. cca 280 m.s^-2
• dřívější názor – geocentrický, až Koperník heliocentrický

První Keplerův zákon

• popisuje tvar trajektorie planet
• planety se pohybují kolem Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce
• jak moc se liší od kružnice – udává výstřednost: e = SF/a
• perihélium/přísluní & afélium/odsluní

Druhý Keplerův zákon

• popisuje, jak se planety pohybují
• obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní
• průvodič – úsečka spojující střed planety se středem Slunce
• >> rychlost planety v perihéliu je větší než v aféliu

Třetí Keplerův zákon

• poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin hlavních poloos jejich trajektorií
• T₁²/T₂² = a₁³/a₂³ považujeme-li elipsy za kružnice >>
• T₁²/T₂² = r₁³/r₂³ kde r₁,₂ jsou střední vzdálenosti Slunce od planet

astronomická jednotka

• AU – střední vzdálenost Slunce od Země; 1 AU = 149,6.10⁶ km
• Keplerovy zákony platí nejen pro pohyby planet, ale obecně pro každou soustavu těles, která se pohybují v gravitačním poli centrálního tělesa – např. družice kolem Země aj.