Mechanické vlnění

jde o přenos kmitání látkovým prostředím; jeho šíření není spojeno s přenosem látky, přenáší se jím však energie

Vznik a druhy vlnění

pružné prostředí

• prostředí, ve kterém se kmitání jedné částice přenáší na další částice
• tyto částice si můžeme představit jako řadu mechanických oscilátorů navzájem spojených vazbou – viz str. 51
• vzniká postupné vlnění o rychlosti v

vlnová délka

• vzdálenost, do které se vlnění rozšíří za jednu periodu
• λ = vT = v/f
• vzdálenost dvou nejbližších bodů, které kmitají se stejnou fází

postupné vlnění příčné

• hmotné body kmitají kolmo na směr šíření vlnění
• pevná tělesa ve tvaru tyčí, hadice apod.

postupné vlnění podélné

• částice kmitají ve směru šíření vlnění
• šíří se tak ve všech látkách např. zvuk
• model: řada kyvadel kmitajících ve směru osy x – str. 53

Rovnice postupného vlnění

y = y_m sin 2π (t / T – x/ λ)

odvození

• harmonické kmitání se ze zdroje šíří řadou hmotných bodů podle rovnice y = y_m sin ωt – toto kmitání dorazí do bodu M ve vzdálenosti x za dobu τ, pro kterou platí τ = x/v
• dosazením do rovnice vznikne y = y_m sin ω (t – τ) = y_m sin ω (t – x/v)
• dosadíme ze vztahů ω = 2π/T vT = λ >>>

rovnice postupné vlny

• pro řadu bodů:  y = y_m sin 2π (t / T – x/ λ)
• platí pro příčné i podélné harmonické vlnění v homogenním prostředí >> mechanické vlnění je děj s dvojí periodicitou
• všechny veličiny popisující vlnění jsou jak funkcemi času, tak funkcemi polohy (souřadnice) bodu, kterými vlnění prochází
• fáze vlnění  -  2π (t / T – x/ λ)

Interference vlnění

Δφ =  (2π/ λ) d     d = x₁ - x₂ d = 2k λ/2 = k λ   d = (2k+1) λ/2

• = skládání vlnění – výsledný pohyb je určen superpozicí kmitání vyvolaných vlněním, str. 57, dále je podle toho, že fyzikální jev interferuje, poznat jeho vlnová povaha

fázový rozdíl vlnění

• Δφ – rozdíl fází vlnění v daném okamžiku
• Δφ = 2π (t / T – x₁/ λ)  – 2π (t / T – x₂/ λ) = 2π/ λ(x₁ - x₂) =  (2π/ λ) d
• fázový rozdíl vlnění je přímo úměrný dráhovému rozdílu vlnění

dráhový rozdíl vlnění

d = x₁ - x₂

• vzdálenost dvou bodů, v nichž mají obě vlnění stejnou fázi
• případy, kdy je d roven celistvému počtu půlvln:
• sudý počet půlvln – d = 2k. λ/2 = k λ ( k = 0, 1, 2) vzniká interferenční maximum
• lichý počet půlvln – d = (2k+1) λ/2 ( k = 0, 1, 2) vzniká interferenční minimum
• >> interferencí dvou vlnění o stejné vlnové délce vzniká výsledné vlnění, jehož amplituda je největší v místech, v nichž se vlnění setkávají se stejnou fází, a nejmenší (popř. nulová) je v místech, v nichž se vlnění setkávají s opačnou fází

Odraz vlnění v řadě bodů. Stojaté vlnění

odraz vlnění

• nastává na konci řady bodů, kterou se šíří vlnění
• na pevném konci – odráží se s opačnou fází
• na volném konci – odráží se se stejnou fází
• viz str. 60

stojaté vlnění

• vzniká, když spolu interferují přímé a odražené vlnění
• jednotlivé body kmitají s různou amplitudou
• může být příčné nebo podélné, stejně jako postupné vlnění
• obr. str. 61 >>>

kmitna stojatého vlnění

• v bodě M a bodech vzdálených od něj o násobky λ/2
• tyto body kmitají s největší amplitudou

uzly stojatého vlnění

• na nákresu černé tečky – vzdáleny o λ/2
• zůstávají ve všech fázích periody v klidu

rozdíly oproti postupnému vlnění

• při postupném vlnění kmitají všechny body se stejnou amplitudou, ale s různou fází – fáze vlnění se šíří fázovou rychlostí vlnění v
• při stojatém vlnění kmitají všechny body se stejnou fází, ale různou amplitudou, která závisí na poloze bodu
• stojatým vlněním se nepřenáší energie, jen s periodicky mění potenciální energie pružnosti částic prostředí v jejich kinetickou energii a naopak

využití

• hudební nástroje – kytara – u dechových vzniká v duté části nástroje stojaté vlnění vzduchového sloupce – chvění

Chvění mechanických soustav

l = k λ/2     f_k = kf_z f_z = v/2l

modelový příklad

• rozechvějeme strunu, která má největší amplitudu uprostřed, kde je kmitna
• >> délka struny l = λ/2
• dále však můžeme strunu rozechvívat i tak, že na struně vzniknou celé vlny, toto však musíme činit na frekvencích, které jsou násobky základní frekvence
• >> l = k λ/2     f_k = kf_z (k = 1, 2, 3, …)
• základní frekvence f_z = v/λ = v/2l
• vyšší harmonické frekvence – k >1
• >> oproti výše uvažovaným případům mechanické soustavy mohou kmitat na více frekvencích, tyto však musí být násobkem frekvence základní

tyče

• uzel je vždy ve středu tyče, na konci jsou kmitny, f_k = (2k+1) f_z

tělesa s jedním volným koncem

• λ = 4l   f_k = (2k+1) f_z
• chvění vzduchového sloupce ve válci, který má jeden konec otevřený a druhý uzavřený
• další případy viz obr. str. 64

chvění desek

• rozechvějeme-li desku upevněnou uprostřed, pozorujeme Chaldniho obrazce
• využití: membrány reproduktorů apod.

Vlnění v izotropním prostředí

izotropní prostředí

• prostředí, které má z hlediska rychlosti šíření vlnění ve všech bodech a směrech stejné vlastnosti
• za dobu t se např. na vodní hladině vytvoří vlna ve tvaru kružnice o r = vt
• všechny body na této kružnici kmitají se stejnou fází

vlnoplocha postupného vlnění

• plocha, jejíž body kmitají se stejnou fází
• vlnění se šíří ve směru paprsku, který je vždy kolmý na vlnoplochu

paprsek

• kolmice k vlnoploše určující směr šíření vlnění

bodový zdroj vlnění

• zdroj vlnění, jehož rozměry můžeme zanedbat

rovinná vlnoplocha

• malá část vlnoplochy v okolí bodového zdroje vlnění

Hyugensův princip

• každý bod vlnoplochy, do něhož dospělo vlnění v určitém okamžiku, můžeme pokládat za zdroj elementárního vlnění, které se z něho šíří v elementárních vlnoplochách
• vlnoplocha v dalším časovém okamžiku je vnější obalová plocha všech elementárních vlnoploch

Christian Hyugens [hajchens]

• současník Newtona, zkoumal vlastnosti světla – považoval ho za vlnění, aj…

Odraz a lom vlnění

α = α´ sin α/ sin β = v₁ / v₂ = n

odraz vlnění

• obr. str. 69 – narazí-li mechanické vlnění vycházející z bodu Z na neprostupnou překážku, dojde k jeho dotyku s ní nejprve v bodě 1
• tento bod se pak stává zdrojem elementárních vlnění
• poloměr elementární vlnoplochy se postupně zvětšuje >> vytvoříme-li obálku všech elementárních vlnoploch podle Hyugensova principu, dostaneme tvar vlnoplochy po odrazu od překážky
• tato vlnoplocha má tvar, jako by vlnění vycházelo z bodu Z´ za překážkou
• Z´ – zdánlivý obraz bodu Z

zákon odrazu

• viz obr. str. 70  – rovinná vlnoplocha AB dospěje k překážce v bodě a pod úhlem α – tento se stane zdrojem elementárního vlnění
• postupně se stávají zdroji elementárního vlnění další body překážky, až vlnění dospěje z bodu B do bodu D
• najdeme obálku odražených vlnoploch a získáme odraženou vlnoplochu CD
• >> úhel odrazu vlnění se rovná úhlu dopadu: α = α´
• >> odražený paprsek zůstává v rovině dopadu
• obvykle se však odraz vlnění zobrazuje jak na obr. str. 70 dole – dopadající vlnění vyznačeno paprskem p, svírá úhel α s kolmicí dopadu k, odražený paprsek p´ s ní svírá úhel α´

rovina dopadu

• rovina určená kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem
• odražený paprsek zůstává v rovině dopadu

lom vlnění

• projevuje se změnou směru šíření vlnění – viz obr. str. 71
• za dobu τ, než v prvním prostředí urazí paprsek dráhu BD = v₁τ urazí v druhém prostředí dráhu AC = v₂τ
• z bodů na úsečce AD vycházejí další vlnoplochy a jejich obalová plocha CD je rovinnou vlnoplochou lomeného vlnění v druhém prostředí
• BD/ AC = v₁τ / v₂τ = v₁ / v₂
• dosadíme BD = AD sin α a AC =  AD sin β
• α – úhel dopadu, β – úhel lomu
• sin α/ sin β = v₁ / v₂ = n

zákon lomu vlnění

• poměr sinu úhlu dopadu k sinu úhlu lomu je pro daná dvě prostředí stálá veličina a rovná se poměru rychlostí vlnění v obou prostředích
• nazývá se index lomu vlnění n pro daná prostředí
• lomený paprsek zůstává v rovině dopadu

Ohyb vlnění

• dále: předpokládáme přímočaré šíření vlnění
• nastává, když vlnění dospěje za překážku: objasnění vychází z Huygensova principu
• zvuk má mnohem delší vlnovou délku než světlo, proto se víc ohne…
• směr šíření vlnění je ovlivněn ohybem vlnění na překážkách, tento vliv je však menší u vlnění s menší vlnovou délkou

Fresnelův popis ohybu

• vlnění v určitém bodě P nové vlnoplochy v´ je podmíněno vlněním jen malé části původní vlnoplochy v s paprskem p – účinnou ploškou
• pokud je překážka větší než účinná ploška, vlnění za ni neprojde
• je-li menší, nastává ohyb vlnění
• dále záleží na vzdálenosti zdroje vlnění od překážky
• >> vlnění dospěje k pozorovateli za překážkou, není-li průměr překážky příliš velký v porovnání s velikostí účinné plošky o průměru  √(lλ)